大学数学线性代数中若干知识点说明3篇

大学数学线性代数中若干知识点的说明1　　行列式的几何意义是什么？　　行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么它就是一个多项式。其本质上代表一下面是小编为大家整理的大学数学线性代数中若干知识点说明3篇,供大家参考。

大学数学线性代数中若干知识点的说明1

　　行列式的几何意义是什么？

　　行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数。当然，如果行列式中含有未知数，那么它就是一个多项式。其本质上代表一个数值。（矩阵代表一个数表）

　　行列式可以按照阶数分，比如一阶，二阶，三阶直至n阶行列式。

　　几何意义是什么？

　　1. 行列式就是行列式中的行和列所构成的超*行多面体的有向面积或有向体积。（可以对二阶行列式推导一下，更能直观的了解）（静态的体积概念）

　　2. 行列式就是线性变换下的图形面积或体积的伸缩因子。（动态的变换比例概念）

　　向量空间

　　向量种类繁多，形形色色的向量方向，长短各异，应该给他分类，划分向量集合，由于向量的概念具有几何特性，因此向量的集合通常叫做向量空间。

　　作为一个空间，规矩特别多，书上给出了八条铁律，其实只有两条基本原则，

　　任意两向量相加不能超出空间，

　　任意一向量伸缩也不能超出空间。

　　由第二条伸缩性，就可以说明空间包含零向量，有了零向量，在第一条的原则上就可以推导出负向量。

　　子空间一定要经过原点为什么？

　　实际上，我们现在讨论的向量，不能称之为自由向量，因为所有的向量的尾巴都被拉到了原点上，或者说，所有向量空间里的向量都是从原点出发的，大家都有一个共同的零空间，这就是为什么所有的子空间一定要包含零空间的原因了。

　　那为什么要把所有的向量的尾巴都被拉到了原点上呢？

　　为了研究向量的方便，因为这样就可以把向量和空间中的点一一对应起来，空间中一旦建立起了坐标系，点有坐标值，那么我们就用点的坐标表示与点对应的向量，这样向量就有了解析式，就有了向量的坐标表达式，我们就可以方便分析与计算了。

　　如果一个子空间没有通过原点，那么从原点出发的向量必然首尾不顾，造成了向量头在子空间中，尾在空间外（因为原点在空间外）。当然，向量的加法和数乘也都跑到子空间外面去了。

　　基的几何意义是什么？

　　“基”，说道这个，我们可以马上联想到做房子的地基，每一个基向量可以看成是房子的砖块，整个空间都是由这些砖块衍生出来的。所以，一个基能代表或衍生出空间里所有的向量，缺一不可。其次，作为基的每一个向量，都是相互不能代替的，必须线性无关。它是最大的线性无关向量组。

　　维数

　　一个基包含的向量个数就是坐标轴的个数，也就是向量空间的维数。维数是空间的一个本质特征，不依赖于基的选取。

　　标准正交基

　　标准正交基也叫规范正交基，实际上，如果这些基向量相互垂直，就叫正交基，而且每个基向量的长度等于1，那么这个基叫做标准正交基。

　　为什么要定义这样的标准正交基呢？

　　主要原因是如果基是正交且标准的，就容易计算向量子空间的投影和基坐标，换句话说，如果你选取的坐标系是垂直的，而且取得坐标单位为1，就很容易计算向量空间里面的向量坐标值。

　　矩阵

　　在此引用《关于矩阵的理解》一文中的某一段落：

　　“在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动。矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述”

　　特征向量的几何意义

　　特征向量的原始定义Ax= cx，A是方阵，c是一数。（课本的定义是利用变换，即ax=rx，a是线性空间中的线性变换，x是非零向量，r是数域里的一个数）

　　从定义可以看出，矩阵A乘以向量x结果仍是同维数的一个向量。因此矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量。那变换的效果取决与矩阵的构造，比如我们可以取一个特殊的二维方阵，使得将*面上的二维向量旋转45度，这时，我们可以对自己问一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢？当然有了，零向量就可以，但除零向量之外呢？那就没有了，所以这个变换对应的矩阵就没有特征向量。

　　所以一个变换的特征向量是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已，同时特征向量不是一个向量而是一个向量族。

　　对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已，似乎不是那么重要；但是，当我们学习了Spectral theorem时就不会这么认为了。

大学数学线性代数中若干知识点的说明2

　　线性代数的学习切入点是线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

　　线性方程组

　　线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

　　关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：

　　1、方程组是否有解，即解的存在性问题；

　　2、方程组如何求解，有多少个；

　　3、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

　　高斯消元法

　　这最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：

　　1、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；

　　2、交换某两个方程的位置；

　　3、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。

　　任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。

　　由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。

　　对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

　　可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。

　　系数矩阵和增广矩阵

　　高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。

　　阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

　　对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现d=0这一项，则方程组无解，若未出现d=0一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解；若r

　　在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。

　　齐次方程组

　　常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。

　　齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。

　　利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题：解的存在性问题和如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。

　　对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n！项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。

　　通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。

　　用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。

　　总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。

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