最全面初一数学一元一次方程专题讲解(精华版)

下面是小编为大家整理的最全面初一数学一元一次方程专题讲解(精华版),供大家参考。

　3.1 从算式到方程 3.1.1 一元一次方程

　知识点 1 定义 1：含有未知数的等式就叫做方程 .

　2. 一元一次方程：只含有一个未知数 ( 元 )x ，未知数 x 的指数都是 1( 次 ) ，这样的方程 叫做一元一次方程 . 例如：

　1700+50x=1800 ， 2 （ x+1.5x ） =5 等都是一元一次方程 .

　1、 如果 (m-1)x |m| +5=0 是一元一次方程，那么 m＝＿＿＿．

　2 、下列各式：①

　3x+2y=1 ② m-3=6③ x/2+2/3=0.5

　④

　x +1=2

　⑤

　z/3-6=5z

　⑥ (3x-3)/3=4

　⑦

　5/x+2=1 ⑧ x+5 中，一元一次方程的个数是（

　）

　Ａ、 1

　Ｂ、 2

　Ｃ、 3 Ｄ、 4

　3、 若(a － 1)x |a| ＋ 3＝－ 6 是关于 x 的一元一次方程，则 a＝＿＿；

　x＝＿＿＿。

　4、下列各式中是一元一次方程的是 ( ) 。

　A、 1 x 2 y 3 B 、 3x2 4x x 1 C 、 y 1 y 1 D 、 1 2 2x 6

　23

　x

　5、根据“ x 的 3 倍与 5 的和比 x 的 1 多 2”可列方程 ( ) 。

　A、 3x 5 x 2 B 、 3x 5 x 2 C 、 3( x 5） x 2 D 、 3(x 5） x 2

　6 、下列方程① 2 x 6 3x 1 ② 2 x 3 x ③ 2（ x+1 ） +3= 1 ④3(2x+5)-2(x-1)=4x+6.

　54

　x

　一元一次方程共有 ( ) 个 .

　A.1

　B.2

　C.3

　D.4

　知识点 2

　方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解

　.

　注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值

　个数值 ) ，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程

　.

　( 或几

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　⑵ 方程的解的检验方法， 首先把未知数的值分别代入方程的左、

　次比较两边的值是否相等从而得出结论 .

　1、若 x=1 是方程 k（ x-2 ） =2 的解，则 k=

　．

　右两边计算它们的值， 其

　2、已知 3 是关于 x 的方程 mx+1=0 的根，那 m= 么

　3、一个一元一次方程的解为 2，请写出这个一元一次方程

　.

　4、若关于 x 的一元一次方程

　2x k 3

　x 3k 2

　1 的解 是

　x

　1, 则 k 的值是（

　）

　A． 2

　B

　．1

　C

　． 13

　D

　．0

　11

　5、（ 2009 ·芜湖）已知方程 3x x2 -9x+m=0 的一个根是 1，则 m 的值

　。

　是

　解：

　把 x=1 代入原方程，得 3× 1 -9 × 1+m=0，

　解得 m=6

　答案：

　6、方 程 2 x kx 1 5x 2 的解 -1 时， k 的值为 ( ) 。

　为

　A、 10 B 、 -4 C 、-6 D 、-8

　7、如果方程 3x 4 8、方程 2 3( x 1)

　0 与方程 3x 0 的解与关于

　4k 18 是同解方程，

　则

　x 的方程 k x 3k 2 2

　k=

　。

　2 x 的解互为倒数，求

　k 的值。

　9、已知 x=-1 是关于 x 的方程 8 x 3 4 x 2 kx 9 0 的一个解，求 3k 2 15k 9 5 的值。

　10、 y=1 是方程 2 1 (m y) 2 y 的解，求关于 x 的方程 m( x 3

　11、（ 2004·青海）关于 x 的方程 ax-3=0 的根是 2，则 a=

　4) 2(mx

　。

　3) 的解。

　12、（ 2004·吉林）已知 m 是方

　x -x-2=0

　的一个根，则代数式

　m2 m 的值等于

　.

　程

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　3.1.2 等式的性质

　等式的性质 (1) ：等式两边都加上 ( 或减去 ) 同个数 ( 或式子 ) ，结果仍相等 .

　等式的性质 (1) 用式子形式表示为：如果 a=b，那么 a±c=b±c

　(2) 等式的性质 (2) ：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为

　0 的数，结果仍相等，等式

　ab 的性质 (2) 用式子形式表示为：如果 a=b，那么 ac=bc; 如果 a=b(c ≠0)，那么 c=c

　1、列结论正确的是（

　）

　A．若 x+3=y-7, 则 x+7=y-11;

　B．若 7y-6=5-2y, 则 7y+6=17-2y;

　C．若 0.25x=-4, 则 x=-1;

　D．若 7x=-7x, 则 7=-7.

　2、列说法错误的是（

　）.

　A．若 x

　y

　, 则 x=y;

　aa

　B

　．若

　x

　=y

　,

　则

　-4x =-4y ;

　C．若 -

　x=6, 则

　x=-

　;

　D．若 6=-x, 则 x=-6.

　3、知等式 ax=ay, 下列变形不正确的是（

　）.

　A． x=y

　B． ax+1= ay+1

　C． ay=ax

　D． 3-ax=3-ay

　4、列说法正确的是（

　）

　A．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式；

　B．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；

　C．等式两边都除以同一个数，所以结果仍是等式；

　D．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；

　5、等式 2- x

　=1 变形，应得（

　）

　A． 6-x+1=3

　B． 6-x-1=3

　C． 2-x+1=3

　D． 2-x-1=3

　3.2 解一元一次方程（一） 欢迎下载——精品资料

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　五、解方程的一般步骤

　1. 去分母 ( 方程两边同乘各分母的最小公倍数 )

　2. 去括号 ( 按去括号法则和分配律 )

　3. 移项 ( 把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号

　)

　4. 合并 ( 把方程化成 ax = b (a ≠0) 形式 )

　5. 系数化为 1( 在方程两边都除以未知数的系数

　b a，得到方程的解 x= ).

　a

　1、要解方程 4.5(x+0.7)=9x , 最简便的方法应该首先（

　）

　Ａ、去括号

　Ｂ、移项 Ｃ、方程两边同时乘以１０

　Ｄ、方程两边同时除以 4.5

　分析：由于９是 4.5 的２倍，所以选择Ｄ最简便．

　5x 2、解方程 8 x 12(

　1 )

　2(6 x 9)

　32

　解：去括号

　８ x－２０ x＋６ ＝８－４ x＋６

　移项

　８ x－２０ x＋４ x＝８＋６ －６

　合并

　－８ x＝８

　系数化为１

　x＝－１

　3、如果 2005 200.5 x 20.05, 那么 x 等于（ ）

　(A)1814.55 (B)1824.55 (C)1774.45 (D)1784.45

　分析与解：移项，得 23 1 4、 3{ 2[ 2(x-1)-3]-3}=3

　2005-200.5+20.05=x ，解得：

　x=1824.55. 答案为 A.

　解：去大括号，得

　1 [ (x-1)-3]-2=3

　去中括号，得 1(x-1)-3-2=3 2

　去小括号，得

　11 2x- 2-3-2=3

　移项，得

　11 x= +3+2+3

　22

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　1 17 合并，得 x=

　22 系数化为 1，得：

　x = 17

　5、（ 2008 ·江苏）解方程：

　3 4

　4 3

　1 2

　x

　1 4

　3 2

　x

　解：去括号，得

　1 x

　3 x

　24

　移项、合并同类项，得 -x=6 1 ， 4

　系数化为 1，得 x=-6 1 4

　6、已知关于 x 的方程 x

　a

　x

　1 (x

　6) 无解，则 a 的值是（

　）

　26

　A.1 B.-1 C.

　± 1 D. 不等于 1 的数

　解 ：去分母，得 2x+6a=3x-x+6 ，

　即 0· x=6-6a 因为原方程无解，所以有 6-6a ≠ 0，

　即 a≠1，

　7、（ 2003 ·黄州）解方程：

　2 (x 1)

　3 3

　0.4(x 1) 0.2

　4.

　8、已知 y=1 是方程 2- 1 (m-y)=2y 的解，求关于 x 的方程 m(x-3)-2=m(2x-5) 的解。

　x5

　9、解方程（ 1）

　0

　7 14

　（ 2） 3 y 1 2 1 y 4 5 y 1

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　（ 3） x

　x1

　x1 2

　0.7 0.1x 0.1 x 1

　（ 4）

　x1

　0.4

　0.3

　（ 5） x

　1 12

　3 6

　3 x2

　（ 6） 2x 1 3 8

　10、 方程中有未知字母，根据方程的解，求未知字母

　（ 1） 已知 x

　28 是方程 1 2

　1 2

　1 2

　x

　a

　a

　a 的解，求 a 的值 .

　（ 2） 已知 x 2 时，代数 2x2 5x c 的值是 14，求 x

　式

　2 时代数式的值．

　3.4 实际问题与一元一次方程 （ 1）用方程思想解决实际问题的一般步骤 1. 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系．

　2. 设：设未知数 ( 可分直接设法，间接设法 ) 3. 列：根据题意列方程． 4. 解：解出所列方程． 5. 检：检验所求的解是否符合题意．

　6. 答：写出答案 ( 有单位要注明答案 )

　（ 2）有关常用应用类型题及各量之间的关系 1. 和、差、倍、分问题：

　（ 1）倍数关系：通过关键词语 “是几倍，增加几倍， 增加到几倍， 增加百分之几， 增长率 ” 来体现 .

　（ 2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余 ”来体现

　.

　2. 等积变形问题：

　“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提

　. 常用等量关系为：

　①形状面积变了，周长没变；

　②原料体积＝成品体积 .

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　3. 调配问题：

　这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

　（ 1）既有调入又有调出；

　（ 2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

　（ 3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变 （ 1）有两个工程队， 甲工程队有 32 人， 乙工程队有 28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人

　数的 2 倍，需从乙工程队抽调多少人到甲工程队？

　（2）某班同学利用假期参加夏令营活动，分成几个小组，若每组 若每组 8 人还缺 6 人，问该班分成几个小组，共有多少名同学？

　4. 数字问题

　7 人还余 1 人，

　（ 1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为

　a，十位数字是 b，个位数字为 c

　（其中 a、b、c 均为整数， 且 1≤ a≤ 9，0 ≤ b≤9，0 ≤ c≤ 9）则这个三位数表示为：

　100a+10b+c.

　（ 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 示，连续的偶数用 2n+2 或 2n— 2 表示；奇数用 2n+1 或 2n— 1 表示 . （ 1）已知三个连续偶数的和是 2004，求这三个偶数各是多少？

　1；偶数用 2n 表

　（ 2）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小

　5，若此两位数的两个数字位置交换，得一

　新两位数，那么新两位数与原两位数大

　45，求新两位数与原两位数的积是多少？

　5. 工程问题 ：

　工程问题中的三个量及其关系为：工作总量 =工作效率×工作时间

　工程问题有三个基本量：工作量、工作时间、工作效率，其基本关系为：工作量

　工作时间；

　．一般情况下把全部工作量看作 1．

　=工作效率×

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　（ 1）一个水池安有甲乙丙三个水管，甲单独开

　12h 注满水池，乙单独开 8h 注满 ,丙单独开 24h

　可排掉满池的水，如果三管同开，多少小时后刚好把水池注满水？

　（ 2）某工程，甲单独完成续 20 天，乙单独完成续 12 天，甲乙合干 6 天后，再由乙继续完成， 乙再做几天可以完成全部工程 ?

　6. 行程问题：

　（ 1）行程问题中的三个基本量及其关系：

　路程 =速度×时间 .

　（ 2）基本类型有 ① 相遇问题；

　② 追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题

　.

　水上（空中）问题．

　此类问题主要涉及四个量：静水船速、水速、逆水船速、顺水船速．基本关系为：顺水船速

　=

　静水船速 +水速；逆水船速 =静水船速－水速．

　（ 1）甲乙两个人在 400 米的环形跑道上同时同点出发，甲的速度是 秒，乙跑几圈后，甲可超过乙一圈？

　6 米 /秒，乙的速度是 4 米 /

　（ 2）甲乙两站相距 300km ，一列慢车从甲站开往乙站，每小时行 甲站，每小时行 80km ，已知慢车先行 1.5h，快车

　40km，一列快车从乙站开往

　7. 商品销售问题 有关关系式：

　商品利润 =商品售价—商品进价 =商品标价×折扣率—商品进价 商品利润率 =商品利润 / 商品进价

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　商品售价 =商品标价×折扣率 再开出，问快车开出多少小时后与慢车相遇？

　（ 1）某产品按原价提高 40%后打八折销售，每件商品赚 销售价是多少？

　270 元，问该商品原标价多少元？现

　（ 2）甲乙两件衣服的成本共 500 元，商店老板为获取利润， 决定将家服装按 50%的利润定价，

　乙服装按 40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按

　9 折出售，这样

　商店共获利 157 元，求甲乙两件服装成本各是多少元？

　8. 储蓄问题

　⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金， 银行付给顾客的酬金叫利息， 本金和利息合称本息和， 存

　入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率

　. 利息的 20%付利息税

　⑵ 利息 =本金×利率×期数

　本息和 =本金 +利息

　利息税 =利息×税率（ 20%）

　9、增长率问题（降低率）

　增长率问题有三个基本量：净增量、基础量、增长率，

　基本关系

　；

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　1、（ 2009 ·福州）某班学生为希望工程共捐款 的学生有 x 人，根据题意列方程为

　131 元，比每人平均 2 元还多 35 元，设这个班 。

　解题思路 ：本题的相等关系是捐款总数相等， 解决此题的关键是用学生人数、 平均数与余数 35 元表示出捐款总数（ 2x+35）元。

　答案：

　2x+35=131

　2、王老师去集贸市场买鸡蛋，小贩称好以后，王老师发现所买的

　10 斤鸡蛋好象比原来少了一

　些，于是王老师就把鸡蛋拾进了自己的篮子 { 已知篮子重一斤 } 里又让小贩称了一下，结果是 11

　斤 1 两，于是王老师就让小贩找回自己一斤鸡蛋钱，你知道王老师是怎么知道小贩少给自己一

　斤鸡蛋的吗？

　分析：解决问题的关键因素——篮子：为什么不用篮子正好是

　10 斤，而用了篮子就是 11 斤 1

　两呢？这就是说小贩的称出了问题：

　一斤的篮子被称成了一斤一两。

　从而可设小贩称的 10 斤鸡

　蛋的实际质量是 x 斤，由题意分析可知：

　x:10=1:1.1, 所以 x=10:11 ≈9.09{ 斤 } 。也就是说小

　贩称的 10 斤鸡蛋实际上约有 9.09 斤，所以王老师的做法是对的

　例 2、某校初三年级学生参加社会实践活动，原计划租用 位。

　30 座客车若干辆，但还有 15 人无座

　（ 1）设原计划租用 30 座客车 x 辆，试用含 x 的代数式表示该校初三年级学生的总人数；

　（ 2）现决定租用 40 座客车，则可比原计划租 30 座客车少一辆，且所租 40 座客车中有一辆 没有坐满，只坐 35 人。请你求出该校初三年级学生的总人数。

　分析：本题表示初三年级总人数有两种方案，用

　30 座客车的辆数表示总人数：

　30x+15

　用 40 座客车的辆数表示总人数：

　40（x－ 2） +35。

　解：（1）该校初三年级学生的总人数为：

　30x+15

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　（ 2）由题意得：

　30x+15

　＝ 40（ x－ 2） +35

　解得：

　x＝ 6

　30x

　＋ 15＝ 30× 6＋15＝ 195（人）

　答：初三年级总共 195 人。

　3. 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅．经过测试：同时开放 1 个大餐厅、 2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、 1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐． （ 1）求 1 个大餐厅、 1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

　（ 2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由．

　分析：可以先设 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，这样的话， 2 个小餐厅就可供 2y 个学生

　就餐，因此大餐厅就可共（ 1680-2y ）名学生就餐 . 然后在根据开放 2 个大餐厅、 1 个小餐厅可 以就餐的人数列出方程 2（ 1680-2y ） +y=2280

　解：（ 1）设 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐，则 1 个大餐厅可供（ 1680-2y ）名学生就餐，

　根据题意，得

　2（ 1680-2y ） +y=2280 解得：

　y=360 （名） 所以 1680-2y=960 （名） 答：（略）．

　（ 2）因为 960 5 360 2 5520 5300 ，

　所以如果同时开放 7 个餐厅，能够供全校的 5300 名学生就餐．

　【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题，而第⑵问属于说理题，关键是求出这

　7 个餐厅

　共能容纳多少人就餐，然后比较即可 .

　4、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利

　45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件

　与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等 . 该工艺品每件的进价、标价分别是多少

　元？

　分析：根据利润 =售价 - 进价与售价 =标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售

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　该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等， 就可以列出一元一次方程 .

　解：设该工艺品每件的进价是 x 元 , 标价是（ 45+x）元 . 依题意，得 :

　8 （ 45+x）× 0.85-8x= （45+x-35 ）× 12-12x 解得：

　x=155 （元） 所以 45+x=200（元） 答：（略） .

　【点拨】这是销售问题，在解答销售问题时把握下列关系即可：

　商品售价 =商品标价×折扣率

　商品利润 =商品售价—商品进价 =商品标价×折数—商品进价 商品利润

　商品利润率 = 商品进价 × 100%

　5、（ 2006 ·益阳市）八年级三班在召开期末总结表彰会前，班主任安排班长李小波去商店买奖 品，下面是李小波与售货员的对话：

　李小波：阿姨，您好！

　售货员：同学，你好，想买点什么？

　李小波：我只有 100 元，请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本 .

　售货员：好，每支钢笔比每本笔记本贵 2 元，退你 5 元，请清点好，再见 .

　根据这段对话，你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗？

　分析：

　这是一道情景对话问题， 具有一定的新颖性 . 解答这类问题的关键是要从对话中捕捉

　等量关系 . 从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵

　2 元，同时还可以发现买 10 支钢笔和 15

　本笔记本共消费（ 100-5 ） =95 元 . 根据上述等量关系可以得到相应的方程 .

　解：设笔记本每本 x 元，则钢笔每支为 （x+2）元，据题意得

　10（ x+2） +15x=100-5

　解得， x=3 （元）

　所以 x+2=5（元）

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　答：（略）

　6、某工厂计划 26 小时生产一批零件，后因每小时多生产 5 件，用 24 小时，不但完成了任务， 而且还比原计划多生产了 60 件，问原计划生产多少零件？

　7、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 5%，调

　价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高

　2%，求甲、乙两种商品的原来单价？

　8、甲、已两个团体共 120 人去某风景区旅游。风景区规定超过 80 人的团体可购买团体票，已 知每张团体比个人票优惠 20%，而甲、已两团体人数均不足 80 人，两团体决定合起来买

　团体票，共优惠了 480 元，则团体票每张多少张？

　9、（ 2004 ·陕西）足球比赛的记分规则为：胜一场得

　3 分。平一场得 1 分，输一场得 0 分，一

　支足球队在某个赛季中共需比赛 14 场，现已比赛了 8 场，输了 1 场， 得 17 分，请问：

　（ 1）前 8 场比赛中，这支球队共胜了多少场？

　（ 2）这支球队打满 14 场比赛，最高能得多少分？

　（ 3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满

　14 场比赛，得分不低于 29 分， 就可以达到

　预期的目标， 请你分析一下， 在后面的 6 场比赛中， 这支球队至少要胜几场，才能达到预期

　目标？

　本章综合练习

　1、在梯形面积公式 S= 1 （ a+b） h 中，如果 a=5cm,b=3cm,S=16cm2, 那么 h=（

　）

　A． 2cm

　B． 5cm

　C． 4cm

　D． 1cm

　2、若关于 x 的方程 3(x-1)+a=b(x+1) 是一元一次方程，则（

　）.

　A． a,b 为任意有理数 B．a≠0

　C． b≠0

　D．b≠ 3

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　3、方程 2x 1 =4x+5 的解是（

　）.

　A． x=-3 或 x=- 2 3

　B． x=3 或 x= 2 3

　C． x=- 2 3

　D． x=-3

　4、若关于 x 的方程 10- k( x 3) 3x k( x 2) 与方程 8-2x=3x-2 的解相同， 则 k 的值为 ( )

　A.0

　B.2

　C.3

　D.4

　5、当 a=

　时，方程 3x a 5x a 1 的解 x=0.

　4是

　6、若（ 1-3x ）2+ 4 mx =0, ，则 6+m2=

　.

　7、 a+b=0，可得 a=

　；由 a-b=0, 可得 a= ; 由 ab=1, 可得 a=

　8、若 2a 与 1 a 互为相反数，则 a 等于

　9、 y 1 是方程 2 3 m y 2 y 的解，则 m

　10、方程 2

　2 x

　4 ，则 x

　11、已知方程 (m+1)x∣m∣+3=0 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值 是

　12、在等式 S ( a b) h 中，已知 S 800, a=30, h 20 ，则 b 2

　13、甲、乙两人在相距 10 千米的 A 、B 两地相向而行，甲每小时走 x 千米，乙每小

　时走 2x 千米，两人同时出发 1.5 小时后相遇，列方程可得

　14、将 1000 元人民币存入银行 2 年，年利息为 5﹪，到期后， 扣除 20﹪的利息税，

　可得取回本息和为

　元。

　15、某品牌的电视机降价 10﹪后每台售价为 2430 元，则这种彩电的原价为每台

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　元。

　16、解方程

　（ 1） 2(t 3) 1 5(2 3t)

　（ 2） 5 x 4x 3

　（ 3） 2x 1 10x 1 1

　（ 4） x x 1 2 x 2

　（ 5） x 3 0.4 x 1 1 0.5 0.3

　17、

　（ 6） 2 [ 3 (x- 1 )-3]-2=4x 32 2

　18、（9 分）已知 y1 6 x, y2 2 7x ，若① y1 2 y2，求 x 的值；②当 x 取何值时，

　y1 与 y2 小

　3 ；③当 x 取何值时， y1 与 y2 互为相反 数？

　19、（7 分）某车间有技术工人 85 人，平均每天每人可加工甲种部件 16 个或乙种部

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　件 10 个。两个甲种部件和三个乙种部件配成一套，问加工甲乙部件各安排多少人 才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？

　20、（7 分）某工厂计划 26 小时生产一批零件， 后因每小时多生产 5 件，用 24 小时， 不但完成了任务，而且还比原计划多生产了 60 件，问原计划生产多少零件？

　21、（7 分）甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化， 甲商品降价 10%， 乙商品提价 5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、 乙两种商品的原来单价？

　22、（7 分）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的 2 倍，如果把个位上的数与 十位上的数对调得到的数比原数小 36，求原来的两位数 .

　23、（7 分）某区中学生足球联赛共赛 8 轮（即每队均需赛 8 场），胜一场得 3 分， 平一场得 1 分，负一场得 0 分。在这次足球联赛中，小平安队踢平的场数是所负场 数的 2 倍，共得 17 分，试问该队胜了几场？

　24、 （10 分）某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒。

　（1）求这列火车的车长和速度。

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　（2）若该列车比另一列长 150 米。时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒 钟?

　25、（10 分）“全球通”使用者先缴 50 元月租费， 然后每通话 1 分钟，再付话费 0.4 元，“神州行”不缴月租费，每通话 1 分钟，付话费 0.6 元， （1）一个月通话多少分钟，两种移动通信费用相同？ （2）怎样选择哪种移动通信合算？

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