“活动单导学”引领下的课堂

体会实际生活、其他学科以及数学内部无处不在的”反向”、“逆”的现象和思维；然后通过第二大节学习的几种常见变换对应矩阵是否存在逆矩阵，加以分析哪几种有逆矩阵，另外几种为什么没有；最后通过学生自主探究推导出一般求逆矩阵的方法和公式，并且让学生在推导过程中体会逆矩阵存在的条件是什么. 而对于逆矩阵存在的唯一性，笔者更多是让学生举例验证说明，并没有进行严谨、翔实的证明. 基于上述思考和分析，笔者结合本地区教改优势，借助如皋活动导学的先进理念，设计如下的活动单：

[⇩] 活动单设计

课题：逆矩阵的概念

学习目标：

1. 通过具体的图形变换，理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件；通过具体的投影变换，说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.

2. 了解证明逆矩阵的惟一性

3. 会求二阶可逆矩阵的逆矩阵

学习过程：

活动一：问题情境

设计意图：在第二节学习几种常见变换的基础上，通过图形的变换，让学生写出由左图变换到右图对应的矩阵，再让学生写出由右图变换到左图对应的矩阵，让学生初步体会“反”、“逆”的思维. 另外让学生举出实际生活中、其他学科中、数学内部的类似于这种“逆”的思维. 这样的设计可以激发学生学习的兴趣，让学生意识到研究逆矩阵的必要性和可能性. 同时可以让学生联系对比之前学习和研究“逆”问题的方法，可以加深对已学知识的理解. 从方法论角度，可以培养学生研究问题的方法，从“逆”的视角重新认识问题，深化对问题的认识，提高思维的深刻性.

活动二：建构数学

问题：对于下列给出的变换矩阵M，是否存在变换矩阵N，使得连续进行两次变换（先TM后TN）的结果与恒等变换的结果相同？

（1）以x轴为反射轴的反射变换；

（2）绕原点逆时针旋转做旋转变换；

（3）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的倍做伸压变换；

（4）沿y轴方向，向x轴做投影变换.

设计意图：通过四道问题，一是让学生回顾第二大节学习几种常见变换所对应的矩阵，二是让学生进一步体会逆矩阵的存在性，在前面学习的几种矩阵中哪些有逆矩阵，哪些没有逆矩阵，只让学生从几何变换的角度加以说明，不让学生加以严格的论证；然后让学生思考如何给出逆矩阵的符号；最后提出一个思考问题，为什么有些矩阵有逆矩阵，有些没有逆矩阵，原因到底是什么？为下面进一步研究做铺垫.

思考：用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，则把它求出来；若不存在，说明理由.

活动三：数学应用

探究二阶可逆矩阵的逆矩阵

一般结论：

设计意图：通常情况是会给出几道例题，让学生尝试求解，但对活动教学，要敢于让学生提出问题，发现问题，让学生在此基础上，自己解决问题，然后自己总结，自己获得知识. 所以这里笔者并没有给出具体题目，而是让两位学生在黑板上写出两个二阶矩阵，其他学生选择做其中一道. 通过这样的设计，可以激发学生学习的欲望和激情，发挥学生的主体地位和主动性，同时也为教师的发挥留下广阔的空间.

[⇩] 教学实录

1. 活动一的教学中，学生举出许多实际生活、其他学科、本学科的例子，尽管有些例子不是十分精准，但是都能很好地体现“逆”的思维. 印象最深刻的是有位学生说：化学中的可逆反应，很精确地体现逆的存在性.

2. 活动二教学过程中，学生通过四道题，已经发现哪些矩阵有逆矩阵，哪些没有逆矩阵. 对于有逆矩阵的矩阵，学生通过建构的过程发现了逆矩阵与原矩阵之间的关系，两个矩阵的相乘为单位矩阵，即恒等变换. 笔者当时提出的一个问题以及学生的回答如下.

教师：存在逆矩阵的矩阵A，A的逆矩阵如何表示呢？

学生1：表示成.

教师：为什么？

学生1：因为xy=1，y=.

教师：非常好.

学生已经把矩阵的问题类比到实数问题，不仅领会了“逆”的思维，而且运用了类比研究的方法和表示方法. 当时在课堂上是意外的惊喜.

3. 活动三教学是本节的重点，通常情况：教师给出题目——学生尝试解决——教师点评提升，总结——学生整理，领悟. 笔者打破常规做法，结合活动教学的优势，做了如下尝试：学生自己出题——学生自主解题——学生自己发现——学生交流做题、发现体验——学生自己提炼、总结. 这里笔者将重点阐述上课前的课堂预设，以及如何巧妙地处理课堂的意外生成.

学生自己出题时，会出现一些情况，第一种情形：两道题都存在逆矩阵，学生可以按照定义求出逆矩阵，但这里就隐藏着一个问题没有解决，什么矩阵有逆矩阵，什么矩阵没有逆矩阵. 第二种情形：两道题都不存在逆矩阵，就会弱化重点内容，如何求逆矩阵，当然学生可以在笔者的引导下发现不存在逆矩阵的根源，进而转到求逆矩阵的一般方法. 第三种情形，两道题中一道存在逆矩阵，一道不存在逆矩阵，让学生在比较中发现矩阵存在逆矩阵的条件. 笔者课堂上出现的是第一种情形，只不过学生出的数据比较大，比较难算. 笔者过渡到对于给定存在逆矩阵的矩阵，如何求出逆矩阵呢？让学生通过求解的一般过程发现矩阵存在逆矩阵的条件，进而在此基础上，给出一道题（不存在逆矩阵的）让学生深化认识.

在学生提炼这一部分，笔者注重让学生观察逆矩阵公式的特征，让学生发现与原矩阵差异和特征比较，概括出分母、分子的特征，使学生进一步深化认识逆矩阵的求法，本质就是待定系数法，解二元一次方程组.

[⇩] 教学反思

从本节课，学生的课堂反应，学习的效果以及与专家的反馈交流中，引发笔者从活动单的设计、课堂教学、活动教学三个方面进行思考.

1. 活动单的设计的思考

活动单通常由三大部分构成：学习目标、学习过程、课堂反馈. 其中学习过程中通常由三至四个活动组成. 与传统的导学案最大的区别是在活动单的设计过程中，处处体现学生是学习的第一要素，比如导学案中的教学目标变成活动单中的学习目标，从学生的角度出发，本节课要学习什么内容. 在学习过程中，传统的做法是学生先做例题，然后教师点评；而活动单在设计时，就给学生、教师留下广阔的空间，是通过学生自主的思考，交流合作，探究问题的，自己获取知识. 在本活动单中，体现也比较明显. 激发笔者进一步思考的是，如何把活动单命制更加精致，如何更能切合学生认知需求，如何更能贴近学生的“最近发展区”，如何设计活动让学生更易操作和交流等等. 笔者以为，教师在命制活动单时，应该站在系统的高度、全局的高度，来审视知识，审视知识在整个知识系统的地位和作用，来审视知识发生、发展的全过程. 本节知识之前学生已经学习的内容，对本节课知识起到什么作用. 本节主要使学生认识、学习到该知识哪些方面，需要达到什么要求. 只有这样，在命制活动单时，才能有的放矢. 而对于具体的活动设计，采用什么方式呈现，更多依赖于知识本身生长的规律. 比如，笔者在设计活动单第二部分第三个活动时，思考这样几个问题，本活动要达到的目标是让学生会求矩阵的逆矩阵，同时知道如何判定哪些矩阵没有逆矩阵. 围绕这两个目标，以及充分调动学生的主动性，让学生在活动中成长，自我关注. 初稿设计时，如果直接给出两个矩阵，让学生求逆矩阵，这里就不能挖掘问题，与传统导学案授课没有区别，不能让学生体验发现问题、解决问题的历程. 进而笔者把该部分留白，让学生自己出题目，自己解决，自己发现问题，然后小组交流，得到共识. 这样能充分激发学生学习的积极性和兴趣. 更重要的是，培养学生自学能力，发现问题的能力，提出问题的能力.

2. 课堂教学的思考

本节课学生整个学习的过程是顺畅、清晰的，笔者在注重知识生成的过程，激发学生参与活动，让学生自主建构知识的过程中，让学生体验到学习的乐趣，同时也体会学生意外生成给笔者带来的惊喜. 但在两个细节处理上，还值得反思. 在学生给出矩阵逆矩阵符号时，没有进一步追问，其他学生有没有另外的思考，以及没有让学生进一步体会、领悟在数学内部其他模块知识同样体现着这种逆的思维. 还有一个细节：假如一个矩阵存在逆矩阵，那么它的逆矩阵是否唯一. 课本上给出了严格的证明，但笔者在这里处理时，只是通过让学生举例，来体会逆矩阵的唯一性，笔者思考，这里还是应该让学生体验这种证明的思维方式，或者让小组合作来体验，否则就削弱了这种证明思想的价值. 因为这种方法只在这里有体现，同时该方法是学生后续学习高等数学、群论中一种重要的证明方法，有点小小的遗憾！

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