利用积分证明不等式

摘 要：研究不等式的方法可谓众多，本文主要利用积分不等式这个高等数学中比较重要的证明不等式方法着手，首先简明扼要地介绍用积分不等式在解决不等式问题中所起到的积极作用，如何解决不等式证明问题，接着将推出高等数学中其它几个常见且极其重要的不等式

关键词：不等式；积分

引文 不等式是高等数学中非常重要的课题之一，在高等数学中占有极其重要的地位.因此，对不等式作一些必要的研究具有重大的意义，同时，也为我们如何证明不等式问题提供了必要的理论指导。

研究不等式问题，方法众多，本文将着重以高等数学中利用积分不等式为理论基础，探讨如何解决不等式问题。

1这里以詹森（Jensen）积分不等式为例，说明积分不等式在解决不等式问题中所起到的积极作用

定理1设和在区间上连续， ，，且，是上连续函数，则

⑴

例1： 设，在上为正值连续函数，则有Holder积分不等式

⑵

证明 令，则.

为凸函数.

由定理1得

.

即.

也即

.

应用积分不等式（2），不难推出积分不等式.

. （3）

在（2）中令，可得积分不等式

（4）

在（3）中令.可得积分不等式

（5）

2 利用施瓦茨不等式证明下列不等式

定理2 施瓦茨不等式：若和在上可积，则

（*）

若在 上连续，其中等号当且仅当存在常数使得时成立（不同时为零）.

证明：

这就证明了（*）式.由此看出，若连续，等号当且仅当存在常数（不全为零）使得时成立。

例2：1）若在上可积，则

证明：根据施瓦茨不等式知

（ = .

2）若，都在上可积，则有闵可夫斯基不等式：

.

证明：利用施瓦茨不等式可知：

即

.

其实闵可夫斯基不等式还有其它一般形式：

a 基本形式：

定理3对于任意实数，及，有：

当时，

当时，

其中等号当且仅当与成比例时成立。

b积分形式

定理4 設，在上有定义，使下面积分有意义，

则当时，.

当时，.

参考文献：

[1]裴礼文，数学分析中的典型问题与方法[M]，北京：高等教育出版社，1993.

[2]徐利治，大学数学解题法诠释[M]，合肥：安徽教育出版社2001.

[3]洁米诺唯奇，数学分析题解[M]，高等教育出版社 1975.

[4]刘玉琏，傅沛仁，数学分析讲义[M]，高等教育出版社 1998

[5]华东师大数学系，数学分析[M]，高等教育出版社 2001.

[6]代立新.一类积分不等式.中国档案出版社，1998.

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